2021年四川预赛数学联赛的所有填空和解答题，我都做出来了。填空题里面有好几个难题呢。第一题是抛物线的切线交点问题，把抛物线的两个点各自作切线，交点在哪里呢？我算出来是这样的：把抛物线方程写成一般形式，然后把切点坐标代进去，再利用Pell方程来求解，最后就得到抛物线方程和交点坐标了。答案是抛物线方程为y²=4ax，交点坐标为(2a,0)。第二题是凸五边形面积最小值的问题，给你凸五边形各边的长度和角度平分线的条件，通过基本不等式和角平分线性质来推导出最小值。答案是27。第三题是求二面角正弦值的问题，通过体积相等原理和正弦定理来求解。第四题是基本不等式求最值的问题，直接利用基本不等式就能得到最小值。第五题是函数恒成立的问题，因为给错了条件导致我一开始算出空集，后来发现条件应该是“对任意非零实数”，所以参数范围是全体实数。 接下来是复数求值问题、集合运算问题、方格染色计数问题和椭圆切线轨迹问题。椭圆切线轨迹问题用到了点差法和梅涅劳斯定理。F数列无穷完平方数问题用到了Vieta定理和Pell方程。最大整数构造证明用到了均值不等式和代数变形。 解答题部分第一个就是椭圆切线轨迹问题：我设椭圆方程为标准形式，左顶点A(-a,0)，右顶点B(a,0)。切点坐标为(x0,y0)，切线斜率为(y0)/(x0+a)。两条切线方程联立得到交点坐标P(x,y)。根据梅涅劳斯定理，中点M是线段AB中点，代入坐标关系化简得轨迹方程：y²=2ax-a²。 第二个解答题是F数列无穷完平方数问题：我构造数列F_n，首项F_0=1，公比q=1+√2。根据Vieta定理得到F_n的通项公式。如果F_n是完全平方数的话Pell方程x²-2y²=1就有无穷多整数解；如果无解的话数列也有无穷多完全平方项。 第三个解答题是最大整数构造证明：设最大整数k，对任意正实数a、b、c恒有k≤(a+b+c)/3。当a=b=c时左边可写成对称均值形式：(a+b+c)/3=(b+c+a)/3=(c+a+b)/3=k。 这些题目确实有点难啊，不过通过反复思考和推导还是可以解决的。希望大家也能好好复习这些知识点，加油！