“胡不归”和“阿氏圆”这两个几何模型，其实是解线段最值问题的关键密码。在开始之前，咱们先把三条铁律给记牢了。不管遇到什么线段最值的问题，这三条原理都能用得上： 一是三角形两边之和大于第三边；二是两点之间线段最短；三是点到直线的距离垂线段最短。把这些原理背熟了，后面所有的模型一看就懂。 先来看个经典的“胡不归”模型。这道题说，已知角MBN的正弦值等于k，点P在射线BM上动，点A在射线BM和BN的同侧。求PA加上k倍PB的最小值时，点P的位置在哪？ 其实这道题的解法很巧妙。过点P作PQ垂直于BN于Q点，那么k倍PB就等于PB乘以角MBN的正弦值，也就是等于PQ。这样一来，原式就变成了求PA加PQ的最小值。A、P、Q三点共线时，这个和最小。 不过这个模型背后还有个有趣的故事呢。从前有个学徒小伙得知父亲病危了，只知道“两点之间线段最短”，于是一路狂奔从A跑到B。结果老人咽气的那一刻，他才赶到家放声痛哭。邻居安慰他说：“胡不归？胡不归……”这时候他才明白早一秒出发、晚一秒到家的道理都藏在“垂线段最短”里。 下面再看个变式题。四边形ABCD是个菱形，AB长4厘米，角ABC是60度，点M是对角线BD上任意一点（不含B点）。求AM加BM的最小值。 解法是这样的：把三角形ABM翻折到BD的上方去，让A点和M点重合。这时候AM加BM就等于2倍BM。因为角ABC是60度，所以BM最短的时候就是A点和B点重合的时候。这时候的答案就是4厘米。 再来看看更复杂的“阿氏圆”模型。已知圆O的半径是r，点A和B都在圆O外面。r等于k倍的OB。动点P在圆O上运动时，求PA加k倍PB的最小值。 关键一步是在OB上截取OC等于kr这样一段长度。然后发现三角形BPO和三角形PCO是相似的比例关系：k倍PB就等于PC。于是原式就变成了求PA加PC的最小值。A、P、C三点共线时和最小。 这个模型其实是古希腊数学家阿波罗尼斯发现的。他把所有满足PC等于k倍PB的点P的轨迹称为一个圆，这就是“阿氏圆”的由来。 同样地也有变式题：圆O的对角线OA垂直于OB，OA和OB都长6厘米。点C是OA的中点，点D在OB上且OD长4厘米。动点P在圆O上运动时，求2倍PC加PD的最小值。 解法是这样的：把圆O平移到点D的左侧去，让OC这条线段平行于PD这条线段。这时候PC就等于OC乘以一个k值（这个k值由OC和PD的比值决定）。所以2倍PC加PD就变成了2倍OC加PD。 因为OC和PD的夹角是固定的，当OC最短的时候取得最小值。这时候OC垂直于PD的情况成立。此时OC的长度是4倍根号2除以2等于2倍根号2厘米，PD的长度是6减去4等于2厘米。两者相加约等于7.3厘米。 接下来咱们进行综合演练练习一下实战技巧吧。第一个题目是直角三角形ABC内接于一个圆：角ACB等于90度，CB长4厘米，CA长6厘米；圆C的半径是2厘米；动点P在圆上运动时；求AP加BP的最小值是多少？ 解法是这样的：把圆C关于CA翻折到CA的延长线上去；让AP和BP重合到一点P'上；此时AP加BP就变成了2倍AP'；连接CP'并交CA于P''；这时候CP''就是最短距离了；通过证明三角形CCP''相似于三角形CAB可得比例关系：CC比CA等于CP''比CB；从而求出CP''的长度等于4乘以6除以5等于4.8厘米；所以答案就是4.8厘米。 第二个题目是扇形OCD内部的情况：角COD等于90度；OC长6厘米；OA长3厘米；OB长5厘米；动点P在CD上运动时；求2倍PA加PB的最小值是多少？ 解法是这样的：把扇形OCD平移到OB的下方去；让D关于OB对称到D'点上；此时2倍PA加PB就大于等于2倍PD'加PB（根据三角不等式）；当D'、P、B三点共线时取得最小值；此时PD'等于OD'等于5倍根号2除以2（根据直角三角形斜边中线定理）；PB等于OB减去OD'等于5减去5倍根号2除以2；两者相加约等于7.7厘米。 第三个题目是X轴上的圆与点之间的问题：原点O为圆心半径4厘米的圆与X轴正半轴相交于A点（坐标为4,0）；M点坐标是（6,3）；N点坐标是（8,0）；动点P在圆上运动时；求PM加PN的最小值是多少？ 解法是这样的：作M关于X轴的对称点M'（坐标为6,-3）；连接M'N与⊙O相交于P''点；此时PM加PN就等于PM'加PN大于等于MN（根据线段最短性质）；通过勾股定理计算MN的长度平方等于（8减6）的平方加上（0减负3）的平方等于13；所以MN的长度约等于3.61厘米；答案就是3.61厘米。